Ие 1. Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершины), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырехпоследовательно соединяющих их непересекающихся отрезков (стороны). Определение 2. Соседними называют вершины, которые являются концами одной стороны. Определение 3. Вершины, не являющиеся соседними, называют противолежащими. Определение 4. Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырехугольника, называются его диагоналями. Теорема 1. Сумма углов четырехугольника равна 360 о. Действительно, поделив четырехугольник диагональю на два треугольника, получаем, что сумма его углов равна сумме углов этих двух треугольников. Зная, что сумма углов треугольника равна 180 о, получаем искомое: 2Ч180 о=360 о Определение d1. Описанный четырехугольник — эточетырехугольник, все стороны которого касаются некоторой окружности. Напомним, что понятие стороны, касающейся окружности: окружностьсчитается касающейся данной стороны, если она касается прямой, содержащей эту сторону, и точка касания лежит на этой стороне. Определение d2. Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого принадлежат некоторой окружности. Теорема 2. У любого четырехугольника, вписанного в окружность, суммы пар противоположных углов равны 180 о. Углы А и С оба опираются на дугу BD только с разных сторон, то естьохватывают всю окружность, а сама окружность — это дуга величиной в 360 о, но мы знаем теоремму, которая твердит, что величина вписанногоугла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, поэтому можем утвердить, что сумма этих углов (А и С в частности) равна 180 о. Тем же способом можно жоказать эту теорему и для другой парыуглов. Теорема 3. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоремой из темы круг иокружность, которая гласит: Отрезки касательных, проведенных из однойточки к окружности, равны, т.е. вК=ВР, СР=СН, DH=DT и АТ=АК. Суммируемстороны АВ и CD: AB+CD=(AK+KB)+(DH+HC)=AT+BP+DT+CP=(AT+TD)+(BP+PC)=AD+BC, ч.т. д. Для теорем 2 и 3 существуют обратные. Запишем их соответственно: Теорема 4. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и толькотогда, когда сумма противоположных углов равны 180 градусам Теорема 5. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны. Доказательство: Пусть ABCD — данный четырехугольник, и него AB+CD=AD+BC. Проведембиссектрисы его углов A и D. Эти биссектрисы непараллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке O. Опустим из точки O на стороны AB, AD иCD перпендикуляры OK, OL и OM. Тогда OK=OL, и OL=OM, а значит, окружность с центром в точке O и радиусом OK касается сторон AB, AD и CDданного четырехугольника. Проведем из точки B касательную к этойокружности. Пусть эта касательная пересекает прямую CD в точке P. ТогдаABPD — описанный четырехугольник. Следовательно, по свойству описанногочетырехугольника, AB+DP=AD+BP. Также, по условию, AB+CD=AD+BC. Следовательно, BP+PC=BC, а значит, по неравенству треугольника, точка P лежит на отрезке BC. Следовательно, прямые BP и BC совпадают, азначит, прямая BC касается окружности с центром в точке O, то есть ABCD — описанный четырехугольник по определению. Теорема доказана. Теорема 6. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними. Доказательство: Пусть ABCD — данный четырехугольник. Пусть также O — точка пересечения диагоналей. Тогда SABCD=SABO+SBCO+SCDO+SDAO=½ (AO·BO·sinРAOB+BO·CO·sinРBOC+CO·DO·sinРCOD+DO·AO·sinРAOD)=½·sinРBOC· (AO+CO) · (BO+DO)=½·sinРBOC·AC·BD. Теорема доказана.
