Через середину К медианы ВМ треугольника АВС через вершину…

Смысл таких задач всегда одинаковый — надо найти, в какой пропорции точка К делит АР, а точка Р — сторону ВС. Оказывается, чтобы это определить, достаточно условий, что ВМ — медиана и К — ее середина. Как будет видно дальше, в этой задаче достаточно найти КР/АК; Пусть MN II BC, и точка N лежит на АР. Тогда треугольники MNK и BKP равны, так как ВК=КМ, и углы при этих сторонах равны. То есть NK=KP. При этом AN=NP, то есть КР=ВР/4, а AK=BP*3/4; и КР/АК=1/3; Этого уже достаточно, чтбы решить задачу. Дело в том, что отрезок СК делит треугольник АСР на два треугольника АКС и СКР, отношение площадей их равно 3 (у них высота общая — расстояние от С до АР, поэтому площади относятся, как АК/КР). При этом отрезок КМ делит треугольник АКС на два, равных по площади, так как М — середина ВС. То есть если площадь СКР=s, то площадь АКС равна 3s, площади АКМ и КМС равны 3s/2, площадь КPСM равна s+3s/2=5s/2; и отношение площади KPCM к площади АМК=5/3; задача решена. Теперь пусть PQ II BC, Q лежит на ВМ. Тогда треугольник PQK подобен треугольнику ВМК. QK/KM=КР/АК=1/3; QK=KM/3=ВМ/6; QM=BM*(1/2+1/6)=BM*2/3; То есть BQ=BM/3, и, соответственно, ВР=ВС/3; отсюда следует, что площади треугольников АРВ и АРС относятся, как 1/2. Это не имеет прямого отношения к задаче, но — если очень хочется — позволяет найти площади всех треугольников АВК, ВКР, АКМ и четырехугольника КРСМ по отношению к площади АВС. Можете сами попробовать