Рассмотрим рисунок, вложенный в решение.ᐃ АВС — осевое сечение конуса, вписанного в шар с центром О. АВ=ВС — его образующиеАС=диаметр основания конусаНС- радиус основания конусаВН — высота конусаВМ- диаметр шараВО — радиус шара Формула объема конусаV=⅓ πr²h Для нахождения объема необходимо знать высоту ВН и радиус r конуса. Высота ВН равна разности ВМ и МНСоединим точку М диаметра шара и точку С диаметра конуса. Рассмотрим треугольник ВСМ.∠ВСМ — прямой, поскольку опирается на диаметр окружности. Гипотенуза этого треугольника равна 2R и равна 10 смКатет ВС — образующая конуса и равен 8 смКатет МС по теореме ПифагораМС=√ (100-64)=6 смЧтобы найти r, обозначим отрезок ОН=х. Тогда r=НСВН=5+ хМН=5-хВыразим высоту НС²=r² через известные величины треугольника ВСМr²=ВС² — ВН²r²=МС²-МН²Приравняем выражения, обозначающие значение r² (иначе НС²) ВС² — ВН²=МС²-МН²8² — (5+ х) ²=6²- (5-х) ²64 — 25 -10 х — х²=36 -25+10 х — х² 64 -10 х=36+10 х 28=20 хх=1,4ОН=1,4Из треугольника МНС найдем НС- радиус основания конусаr²=МС²- МН²МН=R — ОН=5-1,4=3,6 смr²=36 -12,96=23,04r=√23,04=4,8 смV конуса=⅓ πr²hV=π*4,8²*6,4:3=π*49,152 см³ или приближенно 154,4 см³ (если на калькуляторе умножать на значение π) — Вариант решения: Для нахождения объема необходимо знать высоту ВН и радиус r конуса. Рассмотрим треугольник ВСМ.∠ВСМ — прямой, поскольку опирается на диаметр окружности. Гипотенуза этого треугольника равна 2R и равна 10 см Катет ВС — образующая конуса и равен 8 см В прямоугольном треугольнике катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. Иными словами, квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. В треугольнике ВСМ отрезок ВН — проекция катета ВС на гипотенузу. ВС²=ВН*ВМ 64=10*ВН ВН=6,4 — это высота конуса. СН — радиус конуса, который в то же время является высотой прямоугольного треугольника МВС, проведенной к гипотенузе. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой; ВН мы нашли, он равен 6,4. Отрезок НМ равен 10-6,4=3,6 СН²=6,4*3,6=23,04 СН=r=4,8 V конуса=⅓ πr²h V=π*4,8²*6,4:3=π*49,152 см³
