1. Пусть даны 4 произвольных точки на плоскости: A,B,C,D. Выберем две из них и проведем через них прямую так, чтобы две другие точки лежали по одну сторону от этой прямой (на рисунке прямая проведена через точки А и В). Через эти же точки А и В проведем лучи перпендикулярно к полученной прямой АВ тоже по ту же сторону прямой, что и оставшиеся точки С и D. Выберем угол А так, чтобы точка В лежала на его стороне (на рисунке — красный) и соответственно, угол В так, чтобы точка А лежала на его стороне (на рисунке — розовый), то есть «навстречу друг другу». Углы А и В полностью покрывают часть плоскости по одну сторону прямой АВ. Через точку С проведем луч, перпендикулярно прямой АВ так, чтобы этот луч пересекал прямую АВ. Аналогично, через точку D проведем луч, перпендикулярно прямой АВ так, чтобы этот луч пересекал прямую АВ. Теперь из точки С проведем луч, параллельно прямой АВ так, чтобы луч D полностью или частично находился внутри полученного угла С (на рисунке синий угол). Аналогично, из точки D проведем луч, параллельно прямой АВ так, чтобы луч С полностью или частично находился внутри полученного угла D (на рисунке зеленый угол). Углы С и D полностью покрывают часть плоскости по другую сторону прямой АВ. Таким образом, все четыре угла полностью покрывают всю плоскость. Этот алгоритм построения также применим для частных случаев, когда три (или все четыре) точки лежат на одной прямой; а также для члучаев, когда две, три, или все четыре точки совпадают.2. Четыре прямых угла в сумме составляют 360°. Сумма 4 острых углов меньше этой величины, и значит, с помощью 4-х острых углов нельзя покрыть всю плоскость.3. Трех прямых углов также недостаточно, чтобы покрыть всю плоскость, так как их сумма 270°.
