При решении задач аналитической геометрии будем использовать действия над векторами, заданными в координатной форме. Пусть даны векторы и. Тогда: 1) при сложении (вычитании) векторов получим вектор; 2) при умножении вектора на число λ получим вектор; 3) при скалярном произведении векторов получим число. Расстояние между двумя точками Даны точки А (xA, yA) и В (xВ, yВ). Расстояние между ними найдем, как длину вектора=(xВ – xА, yB — yA). Из скалярного произведения имеем. Подсчитав скалярное произведение через координаты вектора, получаем расстояние между двумя точками. (1) Угол между двумя векторами Даны два вектора: и. Косинус угла между ними: . (2) Деление отрезка в заданном отношении Пусть даны точки А (xА y А), и В (xВ y В). Требуется найти координаты точки С (x, y), делящей отрезок АВ в заданном отношении λ: В A С. Для решения задачи воспользуемся действием умножения вектора на число. Перепишем отношение в виде: |AC|=λ| CB|. Такое соотношение длин может быть получено при выполнении действия. В равных векторах равны соответствующие координаты:. Из этих уравнений найдем неизвестные координаты точки С: . (3) В частности, для середины имеем и поэтому λ=1. Следовательно, координаты середины отрезка находятся по формулам 4) Условия параллельности и перпендикулярности векторов Так как скалярное произведение двух перпендикулярных векторов и равно 0, то условием перпендикулярности отличных от нуля векторов будет равенство. При умножении вектора на скаляр получаем вектор одного направления с при λ > 0 и противоположного направления при λ < 0. Но всегда векторы будут параллельны. Поэтому условием параллельности векторов будет пропорциональность их соответствующих координат:. Пример. Найти длину медианы СЕ в треугольнике АВС с вершинами: А (3,3), В (–1,1), С (0,1). Решение. Так как Е – середина отрезка АВ, то по формуле (4) имеем:. Длину медианы СЕ найдем по формуле (1):. Пример. Какие из векторов будут параллельны и какие перпендикулярны между собой? Решение. Векторы перпендикулярны, т. К… Векторы параллельны, т. К… Пример. Найти геометрическое место точек, удаленных от точки А (а,b) на одно и тоже расстояние R. Решение. Если М (х, у) – произвольная точка искомого геометрического места, то всегда |АМ|=R или, (х-а) 2+(у-b) 2=R2 – искомое уравнение.
