Профессорская задачка 1. Вспомогательная задача. В произвольном треугольнике две прямые, выходящие из разных вершин, делятся в точке пересечения в отношении 2:1 и 1:1. Нужно найти, в каком отношении они делят стороны. На самом деле, для заданной задачи достаточно найти, в каком отношении делится сторона, к которой проведена та прямая, которая длится в отношении 2:1. На первом рисунке — простое решение этой задачи. (Не надо путать обозначения тут и при решении основной задачи). Задано ВК/KN=1; AK/KM=2; надо найти BM/BC. Проводится PM II AC, треугольники PKM и AKN подобны, и PK/KN=KM/AK=1/2; но КN=BN/2, то есть PN=BN/4; тогда и BP=BN/4; а отсюда BM=BC/4; 2. Собственно решение. Я изменил обозначение точки пересечения медиан трегольника АВС на букву G. O — центр описанной окружности, Н — ортоцентр. Точка Р пересечения биссектрисы угла А и GН делит GН пополам. Поскольку АР — биссектриса угла А, то ее точка пересечения с окружностью N делит дугу ВС пополам, то есть совпадает с точкой пересечения перпендикуляра к ВС из центра О. Легко увидеть, что угол DNA между биссектрисой и этим диаметром, обозначенный как α, равен (угол АСВ — угол АВС) /2 (проще всего это понять, если провести через А хорду АА1 II ВС, тогда дуга ВА1=дуга АС, и угол А1NA=угол А1СА, а DN биссектриса угла A1NA), то есть α=15°; Теперь самое главное. Точки O, G и Н лежат на прямой Эйлера, и OG=GH/2; Отсюда следует, что OG=GP=PH; кроме того, точка G делит АК в отношении AG/GK=2 (ну, это же медиана тр-ка АВС…) Согласно вспомогательной задаче из треугольника AON получается OK=ON/4; то есть расстояние от О до хорды ВС равно четверти радиуса окружности. Отсюда легко найти радиус R описанной окружности. R^2=1^2+(R/4) ^2; R=4/√15; Для того, чтобы найти площадь, нужно найти АМ. Центральный угол DOA равен 2α=30°; и равен углу ОАМ, откуда сразу видно, что АМ=ОК + АО*cos (2α)=R*(1/4+cos (2α)=R (1/4+√3/2); S=ВС*АМ/2=(4/√15)*(1+2√3) /8=(1+2√3) / (2√15); Я, конечно, мог и ошибиться в арифметике, так что проверяйте, но смысл решения понятен
