Высота PO правильной четырехугольной пирамиды PABCD равна 4…

Обозначения: О — центр основания (проекция вершины Р на основание, РО — высота пирамиды), К — середина MN. MN=3√2. В треугольнике POM (или в PON, они равны) PO=4; OM=3; поэтому PN=PM=5; PK=√ (5^2 — (3√2/2) ^2)=√ (41/2); Площадь треугольника PMN Spmn=(3√2)*√ (41/2) /2=3√41/2; Площади треугольников PCM и PCN равны 3*5/2=15/2; Площадь основания — треугольника CMN равна 3*3/2=9/2; Отсюда объем пирамиды PCMN V=(9/2)*4/3=6; Площадь всей поверхности S=3√41/2+15/2+15/2+9/2=3 (13+√41) /2; Радиус вписанной сферы r=3V/S=3*6/ (3 (13+√41) /2)=12/ (13+√41); Если не понятно, почему r=3V/S, то надо мысленно соединить центр сферы с вершинами пирамиды — тогда она разобьется на 4 пирамиды, в которых основаниями служат боковые грани, а высотами — радиусы сферы, проведенные в точки касания.