Доказать, что число корень из 2 — иррациональное

Все простоДопустим противное: \sqrt{2} рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби \frac{m}{n}, где m — целое число, а n — натуральное число. Возведем предполагаемое равенство в квадрат: \sqrt{2}=\frac{m}{n} \Rightarrow 2=\frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2=2n^2. Отсюда следует, что m^2 четно, значит, четно и m. Пускай m=2r, где r целое. Тогда (2r) ^2=2n^2 \Rightarrow n^2=2r^2Следовательно, n^2 четно, значит, четно и n. Мы получили, что m и n четны, что противоречит несократимости дроби \frac{m}{n}. Значит, исходное предположение было неверным, и \sqrt{2} — иррациональное число.