Перепишем уравнение z=y*√x-2y^2-x+14y в видеF (x,y,z)=y*√x-2y^2-x+14y-z — это уравнение поверхности. Запишем известные формулы для уравнений касательной плоскости и плоскости нормали к поверхности в заданной точке (формулы записаны в частных производных, d — знак частной производной): Уравнение касательной: dF/dx*(x-x₀)+dF/dy*(y-y₀)+dF/dz*(z-z₀)=0 (1) Уравнение нормалиx-x₀) / (dF/dx)=(y-y₀) / (dF/dy)=(z-z₀) / (dF/dz) (2) x₀=1; y₀=0; z₀=-1 — координаты т. M (1; 0; -1). Т. Е. Все сводится к нахождению частных производных. 1) dF/dx=d (y*√x) /dx — d (2y^2) /dx — dx/dx+d (14y) /dx — dz/dx dF/dx=y*d (√x) /dx — 0 — 1+0 — 0 dF/dx=y*(1/ (2*√x) — 1 dF/dx=y/ (2*√x) — 1 (3) Найдем dF/dx в т. M (1; 0; -1). Подставим x=1; y=0; z=-1 в (3): dF/dx=0/ (2*√1) -1=-1 (4) 2) dF/dy=d (y*√x) /dy — d (2y^2) /dy — dx/dy+d (14y) /dy — dz/dy dF/dy=(√x)*dy/dy — 2*d (y^2) /dy — 0+14*dy/dy — 0 dF/dy=(√x)*1 — 2*2y+14*1 dF/dy=√x — 4y+14 Найдем dF/dy в т. M (1; 0; -1): dF/dy=√1 — 4*0+14=15 (5) 3) dF/dz=d (y*√x) /dz — d (2y^2) /dz — dx/dz+d (14y) /dz — dz/dz dF/dz=0 — 0 — 0+0 — 1=-1 (6) Теперь подставим (4) , (5) , (6) и x₀=1; y₀=0; z₀=-1 — координаты т. M (1; 0; -1) в (1): -1*(x-1)+15*(y-0) -1*(z- (-1)=0-x+1+15y-z-1=0-x+15y-z=0 — уравнение касательной. Теперь подставим (4) , (5) , (6) и x₀=1; y₀=0; z₀=-1 — координаты т. M (1; 0; -1) в (2) x-1) / (-1)=(y-0) /15=(z- (-1) / (-1) (x-1) / (-1)=y/15=(z+1) / (-1) — уравнение нормали. Ответ: -x+15y-z=0 — уравнение касательной (x-1) / (-1)=y/15=(z+1) / (-1) — уравнение нормали
