Из точки А, лежащей вне круга, проведены две касательные к нему…

Решение: Пусть О – центр окружности, пусть Р – ближняя из точек пересечения окружности и отрезка АО. Пусть N – точка пересеченияТогда прямоугольные треугольники OAC и ОAB равны за катетом и гипотенузой (ОF=ОA, ОC=ОB – как радиусы). Значит из равности треугольников,AC=ABугол АOC=угол AOB (то же самое угол РOC=угол РOB) угол OAC=угол OAB (то же самое угол OРC=угол OРB), значит АP – биссектриса угла А, (то же самое, что AN — биссектриса угла А) AC=AB – значит треугольник ABC – равнобедренныйБиссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, есть его высотой и медианойтреугольник ABC – равнобедренный, AN — биссектриса угла А, значитугол ANB=угол ANC=90 градусовтреугольник BOP – равнобедренный (BO=OP – как радиусы) , значит угол PBO=угол BPOПусть угол BOA=угол BOP=угол BON=х. Сумма углов треугольника равна 180. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. Тогда с треугольника BOP угол PBO=угол BPO=(180 — х) \2=90-х\2 с треугольника AOB угол OAB=90-хугол ABP=угол OAB- угол PBO=90-х- (90-х\2)=x\2 угол PBN=90-угол OAB- угол ABP=90- (90-x) -x\2=x\2 угол ABP=угол PBN, значит BP – биссектриса угла B. Итак, точка P- точка пересечения биссектрис треугольника ABC, что и требовалось доказать.