Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке… Угол равен, где — центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол — прямой. Из треугольника получим, что угол равен градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги — тоже градуса. Ответ: … Найдите угол, если его сторона касается окружности, — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна. Ответ дайте в градусах. Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу, следовательно, он равен градусов. Тогда угол равен. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол — прямой. Тогда угол равен. Ответ: … Хорда стягивает дугу окружности в. Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку. Ответ дайте в градусах. Проведем радиус в точку касания, а также радиус. Угол равен. Треугольник — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен градуса, и тогда угол равен градусов, то есть половине угловой величины дуги. Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними… Через концы, дуги окружности в проведены касательные и. Найдите угол. Ответ дайте в градусах. Рассмотрите четырехугольник. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна. Углы и и — прямые, угол равен, значит, угол равен градусов. Ответ: … К окружности, вписанной в треугольник, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны, ,. Найдите периметр данного треугольника. Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности: Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников. Ответ: . Все эти задачи встречаются в Банке заданий ФИПИ под номером. А вот одна из сложных задач:. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна. Его периметр равен. Найдите радиус этой окружности. Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке. Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания. Соедините точку с вершинами. Получились треугольники и. Очевидно, что площадь многоугольника. Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?
