Решение: Пусть АBCD – данный ромб, угол А=угол С=L. Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонамиS=AB^2*sin AS=a^2*sin LПолупериметр робма равен полусумме сторон ромбаp=4*a\2=2*aПлощадь ромба равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружностиS=p*rОткудаr=S\p=a^2*sin L \ (2*a)=a\2*sin LПусть X, Y – точки касания вписанной в ромб окружности со сторонами AB и AD соответсвенно, пусть H – точка пересечения, прямой FG, перпендикулярной к диагонали АС, вторая окружность касается сторон AB и AD и соприкасается с первой окружностью в точке H, значит вторая окружность – окружность вписанная в треугольник AFG. Угол B=угол D=180 – угол А=180-LДиагональ АС ромба равна по теореме косинусовAC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos B=a^2+a^2-2*a*a*cos (180-L)=2*a^2*(1+cos L) AC=корень (2*a^2*(1+cos L)=2*а*|cos L\2|=2*a*cos (L\2) (воспользовались формулой понижения квадрата косинуса) Пусть О – центр вписанной в ромб окружностиДиагонали ромба пересекаються и в точке пересечения делятся пополам, причем точка пересечения является центром вписанной в ромб окружности (свойство ромба) Значит АО=1\2*АС=1\2*2*a*cos (L\2)=a*cos (L\2) Далее AH=AO-OH=a*cos (L\2) -a\2*sin L=a*cos (L\2)*(1-sin (L\2) AF=AH\cos (A\2)=a*cos (L\2)*(1-sin (L\2) \cos (L\2)=a*(1-sin (L\2) FH=AH*tg (A\2)=a*cos (L\2)*(1-sin (L\2)*tg (L\2)=a*sin (L\2)*(1-sin (L\2) FG=2*FH=2*a*sin (L\2)*(1-sin (L\2) Треугольники AFH и AGH равны как прямоугольные за катетом и острым углом (угол FAH=угол GAH – диагональ ромба есть его биссектриссой – свойство ромба, AH=AH, Прямая FG касательная к первой окружности, значит перпендикулярная к АС, отсюда углы FHA и GHA прямые). Из равенства треугольников получаем AF=AGПлощадь треугольника равна произведению половины основания на висотуПлощадь треугольника AFH: S (AFG)=FH*AH=a*sin (L\2)*(1-sin (L\2)*a*cos (L\2)*(1-sin (L\2)=1\2*a^2*sin L*(1-sin (L\2)*^2Полупериметр треугольника равенp (AFG)=(AF+FG+AG) \2=(a*(1-sin (L\2)+a*(1-sin (L\2)+2*a*sin (L\2)*(1-sin (L\2) \2=a*(1-sin (L\2)+a*sin (L\2)*(1-sin (L\2)=a*(1-sin (L\2)*(1+sin (L\2)=a*(1-sin^2 (L\2)=a*cos^2 (L\2) Радиус вписанной окружности в треугольник равен площадь\полуперимтер, Радиус равен 1\2*a^2*sin L*(1-sin (L\2)*^2 \ (a*cos^2 (L\2)=a*tg (L\2)*(1-sin (L\2) ^2Ответ: a*tg (L\2)*(1-sin (L\2) ^2
