Точки M,N и K — середины ребер AD,BC и AB тетраэдара ABCD

Question

Точки M,N и K — середины ребер AD,BC и AB тетраэдара ABCD. На продолжении AN за точку N взята точка P так, что AP=2AN. Через точку P проведенапрямая, параллельная плоскости DKC и пересекающая прямую CM в точке Q. Найдите отношение CQ: CM.

a322007 · Accepted Answer

Проведем дополнительные построения. Продлим лучи AB,AC,AD. В плоскости (ВАС) через точку Р проведем прямую (К1С1) || (KC). В плоскости (САD) через точку С1 проведем прямую (С1D1) || (CD). Плоскость (K1C1D1) параллельна (KCD) и проходит через точку Р. Прямая (C1D1) — линия пересечения плоскостей (АС1D1) и (K1C1D1). Прямая (MC) пересекает (C1D1) в точке Q. Точка Q принадлежит плоскостям (АС1D1) и (K1C1D1). Прямая (PQ) — искомая прямая, которая проходит через точку Р, Параллельная плоскости (DKC) и пересекающая прямую (СМ) в точке Q. Теперь отношение CQ: CMВ ∆ ACD построим среднюю линию (MA1) || (CD), тогда |АА1|=|СА1|. В ∆ ABC построим прямую (SA1) || (KC) || (K1C1). Указанные прямые по теореме Фалеса отсекают на сторонах углов < BAN и <NAC-пропорциональные отрезки. Точка Е –пересечение медиан, отрезки |NE|=1/3*AN , |AE|=2/3*AN. Точка Z – пересечение (АЕ) и (SA1), отрезки |EZ|=|AZ|=1/3*AN. Тогда PE: EZ=(PN+NE): EZ=(AN+1/3*AN): 1/3*AN=4/3*AN: 1/3*AN=4:1∆ QCC1 и ∆ MCA1 –подобные по трем углам.CQ: CM=CC1: CA1=PE: EZ=4:1 Ответ: отношение CQ: CM=4:1

Email:
Пароль:
	забыли пароль?

Логин:
Email:
Пароль: